トポロジカルな収束構造

位相空間(X,O){ ( X, \mathcal{O} ) }が自然な収束構造を持つことを述べよう。N⊂X{ N\subset X }がx∈X{ x\in X }の近傍であるとは、あるU∈O{ U\in\mathcal{O} }が存在してx∈U⊂N{ x\in U\subset N }を満たすことだった。x{ x }の近傍全体を近傍系と呼びN(x){ \mathfrak{N}( x ) }で表せば次が成り立つ。

  1. 任意のx∈X{ x\in X }についてX∈N(x){ X\in\mathfrak{N}( x ) }であり、N∈N(x){ N\in\mathfrak{N}( x ) }ならx∈N{ x\in N }を満たす。
  2. N,M∈N(x){ N, M\in\mathfrak{N}( x ) }ならN∩M∈N(x){ N\cap M\in\mathfrak{N}( x ) }である。
  3. N∈N(x){ N\in\mathfrak{N}( x ) }かつN⊂M⊂X{ N\subset M\subset X }ならM∈N(x){ M\in\mathfrak{N}( x ) }である。
  4. 任意のN∈N(x){ N\in\mathfrak{N}( x ) }に対して、あるM∈N(x){ M\in\mathfrak{N}( x ) }が存在して、y∈M{ y\in M }ならN∈N(y){ N\in\mathfrak{N}( y ) }が成り立つ。

逆にこれらを満たすN(x){ \mathfrak{N}( x ) }から位相を定義することもでき（Hausdorffの公理系）、その位相における近傍系と両立することが知られている。

さて1番目の前半と、2、3番目はほとんどフィルターの定義である。実際これをフィルターの定義とする流儀もあるが、本稿の定義においても近傍系はフィルターである。また1番目の後半は、収束空間の⟨x⟩→x{ \langle x \rangle\rightarrow x }に対応していると考えられる。そこでF→x{ \mathscr{F}\rightarrow x }をN(x)⊂F{ \mathfrak{N}( x )\subset\mathscr{F} }で定めよう。この収束構造をtopological convergence structureと呼ぶ。

定義 収束空間X{ X }が位相的（topological）とは、収束構造がtopological convergence structureと一致することをいう。つまりあるX{ X }の位相O{ \mathcal{O} }が存在して、F→x{ \mathscr{F}\rightarrow x }とN(x)⊂F{ \mathfrak{N}( x )\subset\mathscr{F} }が同値となるときに、トポロジカルであるという。

注意 トポロジカルな収束構造とtopological convergence structureは同値の概念だが、出発点が違うという意味で区別している。

命題 X{ X }はトポロジカルな収束空間とする。Φ(X){ \Phi( X ) }をX{ X }のフィルター全体とする。このとき

N(x)=∩{F∈Φ(X):F→x} \displaystyle \mathfrak{N}( x )=\cap\lbrace \mathscr{F}\in\Phi( X ) : \mathscr{F}\rightarrow x \rbrace

が成り立つ。

（証明）F→x{ \mathscr{F}\rightarrow x }ならN(x)⊂F{ \mathfrak{N}( x )\subset\mathscr{F} }より左辺は右辺に含まれる。逆は近傍系がフィルターであることからN(x)→x{ \mathfrak{N}( x )\rightarrow x }より従う。□{ \square }

  • 位相は近傍系より一意的に定まるから、収束空間がトポロジカルなときその位相は一意的である。

この左辺は収束空間がトポロジカルでなければ定義できないが、右辺は一般の収束空間で定義できることに気付くだろう。

定義 X{ X }を収束空間とする。X{ X }のフィルター全体をΦ(X){ \Phi( X ) }とする。x∈X{ x\in X }に対し、x{ x }に収束するフィルターの共通部分

Nx:=∩{F∈Φ(X):F→x} \displaystyle \mathscr{N}_{x}:=\cap\lbrace \mathscr{F}\in\Phi( X ) : \mathscr{F}\rightarrow x \rbrace

をx{ x }の近傍フィルター（neighborhood filter）と呼び、この元をx{ x }の近傍と呼ぶ。

  • トポロジカルな収束空間において、近傍フィルターは近傍系と一致し、各点の近傍は両者の意味で同一となる。

近傍系から位相を作る方法を思い出せば、位相的概念を収束構造に持ち込むことが出来る。例えば開集合は任意のx∈U{ x\in U }についてU∈N(x){ U\in\mathfrak{N}( x ) }が成り立つ集合U⊂X{ U\subset X }である。そこで次を定める。

定義 X{ X }を収束空間とする。U⊂X{ U\subset X }とする。任意のx∈U{ x\in U }についてU∈Nx{ U\in\mathscr{N}_{x} }が成り立つとき、U{ U }は開（open）であるという。

  • トポロジカルな収束空間において、収束構造としてopenであることは、位相構造として開集合であることと同値である。

補題 X,Y{ X, Y }をトポロジカルな収束空間とする。f​:X→Y{ f\colon X\rightarrow Y }を写像とする。以下は同値である。

  • f{ f }は収束構造として連続である。
  • U⊂Y{ U\subset Y }がopenなら、f−1(U)⊂X{ f^{-1}( U )\subset X }もopenである。

（証明）上から下は常に成り立つ。実際U⊂Y{ U\subset Y }をopenとすると、x∈f−1(U){ x\in f^{-1}( U ) }についてf(x)∈U{ f( x )\in U }より、U∈Nf(x){ U\in\mathscr{N}_{f( x )} }が成り立つ。f−1(U)∈Nx{ f^{-1}( U )\in\mathscr{N}_{x} }を示したい。F→x{ \mathscr{F}\rightarrow x }を取る。f{ f }は連続だからf∗F→f(x){ f_{\ast}\mathscr{F}\rightarrow f( x ) }である。U{ U }はopenだからU∈f∗F{ U\in f_{\ast}\mathscr{F} }となる。つまり、あるF∈F{ F\in\mathscr{F} }が存在してf(F)⊂U{ f( F )\subset U }となる。F⊂f−1(U){ F\subset f^{-1}( U ) }よりf−1(U)∈F{ f^{-1}( U )\in\mathscr{F} }を得る。従ってf−1(U)∈Nx{ f^{-1}( U )\in\mathscr{N}_{x} }つまりf−1(U){ f^{-1}( U ) }はopenである。

下から上を示すのにトポロジカルであることが必要となる。X,Y{ X, Y }の位相をOX,OY{ \mathcal{O}_{X}, \mathcal{O}_{Y} }とする。F→x{ \mathscr{F}\rightarrow x }とする。f{ f }が収束構造として連続であることを示すにはf∗F→f(x){ f_{\ast}\mathscr{F}\rightarrow f( x ) }つまりN(f(x))⊂f∗F{ \mathfrak{N}( f( x ) )\subset f_{\ast}\mathscr{F} }を示せば良い。N∈N(f(x)){ N\in\mathfrak{N}( f( x ) ) }を取ると、ある開集合V∈OY{ V\in\mathcal{O}_{Y} }が存在してf(x)∈V⊂N{ f( x )\in V\subset N }となる。x∈f−1(V)⊂f−1(N){ x\in f^{-1}( V )\subset f^{-1}( N ) }だが、仮定よりf−1(V){ f^{-1}( V ) }は開集合、特にf−1(V)∈N(x){ f^{-1}( V )\in\mathfrak{N}( x ) }となる。故にf−1(N)∈N(x){ f^{-1}( N )\in\mathfrak{N}( x ) }だからf(f−1(N))⊂N{ f( f^{-1}( N ) )\subset N }よりN∈f∗N(x)⊂f∗F{ N\in f_{\ast}\mathfrak{N}( x )\subset f_{\ast}\mathscr{F} }が従う。□{ \square }

定理 X{ X }を収束空間、Y{ Y }を位相空間とする。Y{ Y }はtopological convergence structureで収束空間とみなす。f​:X→Y{ f\colon X\rightarrow Y }が収束空間としての同型を与えているなら、X{ X }はトポロジカルであり、f{ f }は同相写像となる。

（証明）OY{ \mathcal{O}_{Y} }をY{ Y }の位相とする。必然的に

OX:={U⊂X:f(U)∈OY} \displaystyle \mathcal{O}_{X}:=\lbrace U\subset X : f( U )\in\mathcal{O}_{Y} \rbrace

と置くしかない。f{ f }は全単射なので、これがX{ X }上の位相を定めることは明らかだろう。F→x{ \mathscr{F}\rightarrow x }とN(x)⊂F{ \mathfrak{N}( x )\subset\mathscr{F} }が同値となることを示せば良い。

F→x{ \mathscr{F}\rightarrow x }とする。N∈N(x){ N\in\mathfrak{N}( x ) }とすると、あるU∈OX{ U\in\mathcal{O}_{X} }が存在してx∈U⊂N{ x\in U\subset N }が成り立つ。f(x)∈f(U)⊂f(N){ f( x )\in f( U )\subset f( N ) }だが、f(U){ f( U ) }は開集合なのでf(N)∈N(f(x)){ f( N )\in\mathfrak{N}( f( x ) ) }である。ここでf{ f }は連続なのでf(F)→f(x){ f( \mathscr{F} )\rightarrow f( x ) }が成り立つ。よってN(f(x))⊂f(F){ \mathfrak{N}( f( x ) )\subset f( \mathscr{F} ) }が成り立つ。つまりf(N)∈f(F){ f( N )\in f( \mathscr{F} ) }を得る。f{ f }は全単射だからN∈F{ N\in\mathscr{F} }である。

N(x)⊂F{ \mathfrak{N}( x )\subset\mathscr{F} }とする。F→x{ \mathscr{F}\rightarrow x }を示したい。f{ f }は同型なのでf(F)→f(x){ f( \mathscr{F} )\rightarrow f( x ) }を示せば良い。更にY{ Y }はトポロジカルだからN(f(x))⊂f(F){ \mathfrak{N}( f( x ) )\subset f( \mathscr{F} ) }を示せばよい。N∈N(f(x)){ N\in\mathfrak{N}( f( x ) ) }とする。ある開集合V∈OY{ V\in\mathcal{O}_{Y} }が存在してf(x)∈V⊂N{ f( x )\in V\subset N }となる。従ってx∈f−1(V)⊂f−1(N){ x\in f^{-1}( V )\subset f^{-1}( N ) }となる。定義よりf−1(V)∈OX{ f^{-1}( V )\in\mathcal{O}_{X} }だから、仮定よりf−1(N)∈N(x)⊂F{ f^{-1}( N )\in\mathfrak{N}( x )\subset\mathscr{F} }を得る。故にN=f(f−1(N))∈f(F){ N=f( f^{-1}( N ) )\in f( \mathscr{F} ) }が分かる。

f{ f }が同相写像となることは、前の補題より明らかだろう。□{ \square }

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