フィルターの大小
まずはフィルターの大小を言い換えよう。
命題
F,G⊂2Xをフィルターとする。以下は同値である。
- F⊂Gである。
- 任意のF∈Fについて、あるG∈Gが存在してG⊂Fが成り立つ。
上から下は全ての集合族で成り立つので自明である。一方で下から上はフィルターの性質による。つまり下の条件の方が強いため、これをprefilterに対する大小として採用しよう。
定義
A,B⊂2Xをprefilterとする。このとき関係A⊣Bを、
- 「任意のA∈Aについて、あるB∈Bが存在してB⊂Aが成り立つ」
で定める。このときBはAより細かい(finer)、あるいはAはBより粗い(coarser)と言う。
この関係は次の命題により生成されたフィルターの大小で言い換えることができる。
命題
A,B⊂2Xをprefilterとする。以下は同値である。
- A⊣Bである。
- ⟨A⟩⊂⟨B⟩である。
ちなみに関係⊣は反射的(A⊣A)かつ推移的(A⊣B,B⊣CならA⊣C)である。よって関係∼をA⊣BかつB⊣Aのとき(つまり⟨A⟩=⟨B⟩のときに)A∼Bと定めれば、これはprefilterに対する同値関係を与える。
次に与えられたフィルターから、より粗いフィルターを作る方法について考える。F,G⊂2Xをフィルターとしよう。このとき集合としての共通部分F∩Gもまたフィルターである。より一般にFλをλ∈Λで添え字付けられたフィルターの族とすると、集合としての共通部分⋂λ∈ΛFλはフィルターとなる。これは各Fλより粗いフィルターのうち最も大きいものとなる。(フィルターについての粗い・細かいは包含関係による順序を定めるが、その順序に関する下限を与える。)
定義
上記のフィルター
F∧G:=F∩G,λ∈Λ⋀Fλ:=λ∈Λ⋂Fλ
をフィルターのwedge積と呼ぶ。(次のvel積との対比で定義するが、分かり易さを踏まえて以降は共通部分の記号を用いる。)
続いて、より細かいフィルターを作る方法について考える。こちらの方が重要であり、一般に存在するとは限らない。
補題
A,B⊂2Xをprefilterとする。任意のA∈A,B∈BについてA∩B̸=∅であるとする。このとき
A∨B:={A∩B:A∈A,B∈B}
はA,Bを含むprefilterとなる。
特にF,G⊂2Xがフィルターのとき、F∨GはF,Gを含むフィルターとなり、更に包含順序に関する上限を与える。
(証明)定義よりA∨Bは空集合を含まない。A1,A2∈A,B1,B2∈BについてV=A1∩B1,W=A2∩B2∈A∨Bとする。Aはprefilterだから、あるA∈Aが存在してA⊂A1∩A2となる。同様にあるB∈Bが存在してB⊂B1∩B2となる。A∩B∈A∨Bであり、A∩B⊂A1∩A2∩B1∩B2⊂V∩WよりA∨Bはprefilterとなることが分かる。またX∈A,BよりA,B⊂A∨Bが従う。
F∨Gがフィルターであることを示すには、自身の生成するフィルターと一致することを示せば良い。V⊂Xについて、あるF∈F,G∈GがF∩G⊂Vを満たすとする。F,GはフィルターなのでF∪V∈F,G∪V∈Gが成り立つ。故にV=V∪(F∩G)=(V∪F)∩(V∪G)∈F∨Gである。上限、つまり最小上界となることは明白だろう。□
定義
上記のA∨Bをprefilterのvel積と呼ぶ。同様にF∨Gはフィルターのvel積と呼ぶ。
- prefilterのvel積は一般に包含順序に関する上限を与えるとは限らない。(ちなみに関係⊣は順序ではない。)
prefilterのvel積は生成と可換になる。
命題
A,B⊂2Xはprefilterとする。このとき
⟨A⟩∨⟨B⟩=⟨A∨B⟩
が成り立つ。
(証明)A,B⊂A∨B⊂⟨A∨B⟩より、最小性から⟨A⟩,⟨B⟩⊂⟨A∨B⟩となる。よって⟨A⟩∨⟨B⟩⊂⟨A∨B⟩も従う。逆も同様にA∨B⊂⟨A⟩∨⟨B⟩から従う。□
もう一つ細かいフィルターを与える方法について紹介しておく。
補題
A⊂2Xをprefilterとする。S⊂XについてS∈/Aであるとする。
A∖S:={V:∃A∈A,A∖S⊂V}
はAを含むフィルターとなる。
(証明)A\S=∅ならA⊂SとなるのでA∈/Aである。よって∅∈/A∖Sである。V∈A∖S,V⊂Wとする。あるA∈Aが存在してA∖S⊂Vが成り立つ。A∖S⊂V⊂WよりW∈A∖Sを得る。V,W∈A∖Sとする。あるA,B∈Aが存在してA∖S⊂V,B∖S⊂Wが成り立つ。Aはprefilterなので、あるC∈Aが存在してC⊂A∩Bが成り立つ。V∩W⊃(A∖S)∩(B∖S)=(A∩B)∖S⊃C∖Sより、V∩W∈A∖Sを得る。また任意のA∈Aについて、A∖S⊂AよりA∈A∖Sである。つまりA⊂A∖Sが成り立つ。□
A∖SはAとX∖Sを含む最小のフィルターでもある。実際、AとX∖Sを含むフィルターFを取る。任意のV∈A∖Sについて、あるA∈Aが存在してA∖S⊂Vが成り立つ。A∖S=A∩(X∖S)∈FよりV∈Fを得る。
定義
上記のA∖SをSを通すフィルター化と呼ぶ。