フィルターの大小

まずはフィルターの大小を言い換えよう。

命題 F,G2X{ \mathscr{F}, \mathscr{G}\subset 2^{X} }をフィルターとする。以下は同値である。

  • FG{ \mathscr{F}\subset\mathscr{G} }である。
  • 任意のFF{ F\in\mathscr{F} }について、あるGG{ G\in\mathscr{G} }が存在してGF{ G\subset F }が成り立つ。

上から下は全ての集合族で成り立つので自明である。一方で下から上はフィルターの性質による。つまり下の条件の方が強いため、これをprefilterに対する大小として採用しよう。

定義 A,B2X{ \mathscr{A}, \mathscr{B}\subset 2^{X} }をprefilterとする。このとき関係AB{ \mathscr{A}\dashv\mathscr{B} }を、

  • 「任意のAA{ A\in\mathscr{A} }について、あるBB{ B\in\mathscr{B} }が存在してBA{ B\subset A }が成り立つ」

で定める。このときB{ \mathscr{B} }A{ \mathscr{A} }より細かい(finer)、あるいはA{ \mathscr{A} }B{ \mathscr{B} }より粗い(coarser)と言う。

この関係は次の命題により生成されたフィルターの大小で言い換えることができる。

命題 A,B2X{ \mathscr{A}, \mathscr{B}\subset 2^{X} }をprefilterとする。以下は同値である。

  • AB{ \mathscr{A}\dashv\mathscr{B} }である。
  • AB{ \langle \mathscr{A} \rangle\subset \langle \mathscr{B} \rangle }である。

ちなみに関係{ \dashv }は反射的(AA{ \mathscr{A}\dashv\mathscr{A} })かつ推移的(AB,BC{ \mathscr{A}\dashv\mathscr{B}, \mathscr{B}\dashv\mathscr{C} }ならAC{ \mathscr{A}\dashv\mathscr{C} })である。よって関係{ \sim }AB{ \mathscr{A}\dashv\mathscr{B} }かつBA{ \mathscr{B}\dashv\mathscr{A} }のとき(つまりA=B{ \langle \mathscr{A} \rangle=\langle \mathscr{B} \rangle }のときに)AB{ \mathscr{A}\sim\mathscr{B} }と定めれば、これはprefilterに対する同値関係を与える。

次に与えられたフィルターから、より粗いフィルターを作る方法について考える。F,G2X{ \mathscr{F}, \mathscr{G}\subset 2^{X} }をフィルターとしよう。このとき集合としての共通部分FG{ \mathscr{F}\cap\mathscr{G} }もまたフィルターである。より一般にFλ{ \mathscr{F}_{\lambda} }λΛ{ \lambda\in\Lambda }で添え字付けられたフィルターの族とすると、集合としての共通部分λΛFλ{ \bigcap_{\lambda\in\Lambda}\mathscr{F}_{\lambda} }はフィルターとなる。これは各Fλ{ \mathscr{F}_{\lambda} }より粗いフィルターのうち最も大きいものとなる。(フィルターについての粗い・細かいは包含関係による順序を定めるが、その順序に関する下限を与える。)

定義 上記のフィルター

FG:=FG,λΛFλ:=λΛFλ \displaystyle \begin{alignedat}{2} \mathscr{F}\wedge\mathscr{G}&:=\mathscr{F}\cap\mathscr{G}, &\qquad \bigwedge_{\lambda\in\Lambda}\mathscr{F}_{\lambda}&:=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\mathscr{F}_{\lambda} \end{alignedat}

をフィルターのwedge積と呼ぶ。(次のvel積との対比で定義するが、分かり易さを踏まえて以降は共通部分の記号を用いる。)

続いて、より細かいフィルターを作る方法について考える。こちらの方が重要であり、一般に存在するとは限らない。

補題 A,B2X{ \mathscr{A}, \mathscr{B}\subset 2^{X} }をprefilterとする。任意のAA,BB{ A\in\mathscr{A}, B\in\mathscr{B} }についてAB{ A\cap B\neq\emptyset }であるとする。このとき

AB:={AB:AA,BB} \displaystyle \mathscr{A}\vee\mathscr{B}:=\lbrace A\cap B : A\in\mathscr{A}, B\in\mathscr{B} \rbrace

A,B{ \mathscr{A}, \mathscr{B} }を含むprefilterとなる。

特にF,G2X{ \mathscr{F}, \mathscr{G}\subset 2^{X} }がフィルターのとき、FG{ \mathscr{F}\vee\mathscr{G} }F,G{ \mathscr{F}, \mathscr{G} }を含むフィルターとなり、更に包含順序に関する上限を与える。

(証明)定義よりAB{ \mathscr{A}\vee\mathscr{B} }は空集合を含まない。A1,A2A,B1,B2B{ A_{1}, A_{2}\in\mathscr{A}, B_{1}, B_{2}\in\mathscr{B} }についてV=A1B1,W=A2B2AB{ V=A_{1}\cap B_{1}, W=A_{2}\cap B_{2}\in\mathscr{A}\vee\mathscr{B} }とする。A{ \mathscr{A} }はprefilterだから、あるAA{ A\in\mathscr{A} }が存在してAA1A2{ A\subset A_{1}\cap A_{2} }となる。同様にあるBB{ B\in\mathscr{B} }が存在してBB1B2{ B\subset B_{1}\cap B_{2} }となる。ABAB{ A\cap B\in\mathscr{A}\vee\mathscr{B} }であり、ABA1A2B1B2VW{ A\cap B\subset A_{1}\cap A_{2}\cap B_{1}\cap B_{2}\subset V\cap W }よりAB{ \mathscr{A}\vee\mathscr{B} }はprefilterとなることが分かる。またXA,B{ X\in\mathscr{A}, \mathscr{B} }よりA,BAB{ \mathscr{A}, \mathscr{B}\subset\mathscr{A}\vee\mathscr{B} }が従う。

FG{ \mathscr{F}\vee\mathscr{G} }がフィルターであることを示すには、自身の生成するフィルターと一致することを示せば良い。VX{ V\subset X }について、あるFF,GG{ F\in\mathscr{F}, G\in\mathscr{G} }FGV{ F\cap G\subset V }を満たすとする。F,G{ \mathscr{F}, \mathscr{G} }はフィルターなのでFVF,GVG{ F\cup V\in\mathscr{F}, G\cup V\in\mathscr{G} }が成り立つ。故にV=V(FG)=(VF)(VG)FG{ V=V\cup( F\cap G )=( V\cup F )\cap( V\cup G )\in\mathscr{F}\vee\mathscr{G} }である。上限、つまり最小上界となることは明白だろう。{ \square }

定義 上記のAB{ \mathscr{A}\vee\mathscr{B} }をprefilterのvel積と呼ぶ。同様にFG{ \mathscr{F}\vee\mathscr{G} }はフィルターのvel積と呼ぶ。

  • prefilterのvel積は一般に包含順序に関する上限を与えるとは限らない。(ちなみに関係{ \dashv }は順序ではない。)

prefilterのvel積は生成と可換になる。

命題 A,B2X{ \mathscr{A}, \mathscr{B}\subset 2^{X} }はprefilterとする。このとき

AB=AB \displaystyle \langle \mathscr{A} \rangle\vee\langle \mathscr{B} \rangle=\langle \mathscr{A}\vee\mathscr{B} \rangle

が成り立つ。

(証明)A,BABAB{ \mathscr{A}, \mathscr{B}\subset\mathscr{A}\vee\mathscr{B}\subset \langle \mathscr{A}\vee\mathscr{B} \rangle }より、最小性からA,BAB{ \langle \mathscr{A} \rangle, \langle \mathscr{B} \rangle\subset\langle \mathscr{A}\vee\mathscr{B} \rangle }となる。よってABAB{ \langle \mathscr{A} \rangle\vee\langle \mathscr{B} \rangle\subset\langle \mathscr{A}\vee\mathscr{B} \rangle }も従う。逆も同様にABAB{ \mathscr{A}\vee\mathscr{B}\subset\langle \mathscr{A} \rangle\vee\langle \mathscr{B} \rangle }から従う。{ \square }

もう一つ細かいフィルターを与える方法について紹介しておく。

補題 A2X{ \mathscr{A}\subset 2^{X} }をprefilterとする。SX{ S\subset X }についてSA{ S\notin\mathscr{A} }であるとする。

AS:={V:AA,ASV} \displaystyle \mathscr{A}_{\setminus S}:=\lbrace V : \exists A\in\mathscr{A}, A\setminus S\subset V \rbrace

A{ \mathscr{A} }を含むフィルターとなる。

(証明)A\S={ A\backslash S=\emptyset }ならAS{ A\subset S }となるのでAA{ A\notin\mathscr{A} }である。よってAS{ \emptyset\notin\mathscr{A}_{\setminus S } }である。VAS,VW{ V\in\mathscr{A}_{\setminus S}, V\subset W }とする。あるAA{ A\in\mathscr{A} }が存在してASV{ A\setminus S\subset V }が成り立つ。ASVW{ A\setminus S\subset V\subset W }よりWAS{ W\in\mathscr{A}_{\setminus S} }を得る。V,WAS{ V, W\in\mathscr{A}_{\setminus S} }とする。あるA,BA{ A, B\in\mathscr{A} }が存在してASV,BSW{ A\setminus S\subset V, B\setminus S\subset W }が成り立つ。A{ \mathscr{A} }はprefilterなので、あるCA{ C\in\mathscr{A} }が存在してCAB{ C\subset A\cap B }が成り立つ。VW(AS)(BS)=(AB)SCS{ V\cap W\supset( A\setminus S )\cap( B\setminus S )=( A\cap B )\setminus S\supset C\setminus S }より、VWAS{ V\cap W\in\mathscr{A}_{\setminus S} }を得る。また任意のAA{ A\in\mathscr{A} }について、ASA{ A\setminus S\subset A }よりAAS{ A\in\mathscr{A}_{\setminus S} }である。つまりAAS{ \mathscr{A}\subset\mathscr{A}_{\setminus S} }が成り立つ。{ \square }

AS{ \mathscr{A}_{\setminus S} }A{ \mathscr{A} }XS{ X\setminus S }を含む最小のフィルターでもある。実際、A{ \mathscr{A} }XS{ X\setminus S }を含むフィルターF{ \mathscr{F} }を取る。任意のVAS{ V\in\mathscr{A}_{\setminus S} }について、あるAA{ A\in\mathscr{A} }が存在してASV{ A\setminus S\subset V }が成り立つ。AS=A(XS)F{ A\setminus S=A\cap( X\setminus S )\in\mathscr{F} }よりVF{ V\in\mathscr{F} }を得る。

定義 上記のAS{ \mathscr{A}_{\setminus S} }S{ S }を通すフィルター化と呼ぶ。

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