このノートについて

はじめに

本稿は（集合上の）フィルター及び収束空間に関するノートである。私的な学習記録であるため、基本的には様々な文献やウェブサイトからの引用及び参考により構成される。これらの出典はなるべく明記するつもりだが、製作の都合上後回しになる可能性が高い。またこのノートはGitHub上におけるKaTeXを用いた数学的文章のテストとしても作られている。（というかこちらがメインである。）GitBookによる半自動化とVSCodeによる高速プレビューなど、執筆環境の構築も含めた解説は次のブログ記事を参照して頂きたい。

GitHub+GitBook+VSCode+KaTeXによる数学文章作成について

フィルターは1937年にHenri Cartanが導入した集合代数の一種であり、「モノがそこに在る」という人間の認識を数学的に言語化した概念である。Cartan自信は、収束列から可算性を廃すために導入したそうだ。

集合代数と言えば、最も知られていると言っても過言でないのが位相だろう。位相は開集合系や閉集合系、あるいは近傍系などにより公理化され、豊かな論理と豊かな応用を展開できる極めて絶妙な体系である。現代の数学の多くは位相が基礎に置かれており、その重要性は計り知れない。

一方で位相は必ずしも一般化されたものではない。というのも例えば位相空間の為す圏${ \mathsf{Top} }$はカルテシアン閉でない。つまり位相空間${ X }$から位相空間${ Y }$への連続関数全体が為す集合${ C( X, Y ) }$には自然に入る位相が存在しない。豊かな応用を持つということは、位相が本質的にある種の扱い辛さを持つということでもある。

従って……という訳でもないが、数学者達は位相空間の拡張を色々と考案してきた。収束空間もその一つであり、収束という概念に焦点を当てた素朴な拡張である。

フィルターや収束空間については日本語でもそれなりに情報がある。PDFとして公開して下さっている方々も沢山いるので、ぶっちゃけこのノートは2番煎じもいいところである。（大事なことなので2度言うが、メインは数学的文章のテストである。）

記号の世界ゟ　位相空間から見たトップダウンの解説

ちょーさんメモ出張版　基礎事項の丁寧な解説

uniのスケッチノート　ネットとの関連から圏論的な議論まで網羅的