自由フィルター

フレシェフィルターFC{ \mathcal{FC} }とは、「補集合が有限集合となる部分集合」全体から成る無限集合のフィルターだった。フィルターが自身を含む超フィルターの共通部分として表せたように、フレシェフィルターも自由フィルターを用いて特徴付けることができる。

以下X{ X }は無限集合とする。またFC⊂2X{ \mathcal{FC}\subset 2^{X} }はX{ X }のフレシェフィルターとする。

定義 F⊂2X{ \mathscr{F}\subset 2^{X} }をX{ X }のフィルターとする。

  1. ∩F=∅{ \cap\mathscr{F}=\emptyset }であるときF{ \mathscr{F} }は自由（free）であるという。
  2. ∩F≠∅{ \cap\mathscr{F}\neq\emptyset }であるときF{ \mathscr{F} }は固定されている（fixed）という。

命題 G⊂2X{ \mathscr{G}\subset 2^{X} }をX{ X }のフィルターとする。以下は同値である。

  • G{ \mathscr{G} }は自由である。
  • FC⊂G{ \mathcal{FC}\subset\mathscr{G} }を満たす。

（証明）上から下を示す。F∈FC{ F\in\mathcal{FC} }について、X∖F={x1,…,xn}{ X\setminus F=\lbrace x_{1}, \dotsc, x_{n} \rbrace }と表せる。∩G=∅{ \cap\mathscr{G}=\emptyset }より、各j{ j }についてあるGj∈G{ G_{j}\in\mathscr{G} }が存在してxj∉Gj{ x_{j}\notin G_{j} }を満たす。x1,…,xn∉G1∩⋯∩Gn{ x_{1}, \dotsc, x_{n}\notin G_{1}\cap\dotsb\cap G_{n} }よりG1∩⋯∩Gn⊂F{ G_{1}\cap\dotsb\cap G_{n}\subset F }となるが、G1∩⋯∩Gn∈G{ G_{1}\cap\dotsb\cap G_{n}\in\mathscr{G} }よりF∈G{ F\in\mathscr{G} }を得る。

逆は、任意のx∈X{ x\in X }についてX∖{x}∈FC⊂G{ X\setminus\lbrace x \rbrace\in\mathcal{FC}\subset\mathscr{G} }より∩G=∅{ \cap\mathscr{G}=\emptyset }を得る。□{ \square }

  • 特にフレシェフィルターは自由である。

系 極大な自由フィルターが存在する。

（証明）フレシェフィルターを含む超フィルターを取ればよい。□{ \square }

定義 部分集合の族S⊂2X,≠∅{ \mathscr{S}\subset 2^{X}, \neq\emptyset }は空でないとする。任意のS1,…,Sn∈S{ S_{1}, \dotsc, S_{n}\in\mathscr{S} }についてS1∩⋯∩Sn≠∅{ S_{1}\cap\dotsb\cap S_{n}\neq\emptyset }が成り立つとき（つまり任意のS{ \mathscr{S} }の有限交叉が空でないとき）、S{ \mathscr{S} }は有限交叉性（Finite Intersection Property, FIP）を満たすという。

有限交叉性はフィルター順基とも呼ばれる。実際、有限交叉全体B{ \mathscr{B} }はprefilterであり、特に⟨B⟩{ \langle \mathscr{B} \rangle }はS{ \mathscr{S} }を含む最小のフィルターとなる。この意味でフィルター的な定義としては最も弱い概念が有限交叉性である。

命題 部分集合の族S⊂2X,≠∅{ \mathscr{S}\subset 2^{X}, \neq\emptyset }は空でないとする。任意のS{ \mathscr{S} }の有限交叉は無限集合とする。このときS{ \mathscr{S} }を含む極大自由フィルターが存在する。

（証明）S{ \mathscr{S} }は有限交叉性を満たすから、有限交叉全体B:={S1∩⋯∩Sn:Sj∈S}{ \mathscr{B}:=\lbrace S_{1}\cap\dotsb\cap S_{n} : S_{j}\in\mathscr{S} \rbrace }はprefilterである。F∈FC{ F\in\mathcal{FC} }及びS∈B{ S\in\mathscr{B} }についてF∩S=∅{ F\cap S=\emptyset }ならS⊂X∖S{ S\subset X\setminus S }となり、S{ S }が無限集合であることに矛盾する。故にF∩S≠∅{ F\cap S\neq\emptyset }である。するとFC{ \mathcal{FC} }とB{ \mathscr{B} }のvel積を考えれば、フィルター⟨FC∨B⟩{ \langle \mathcal{FC}\vee\mathscr{B} \rangle }を含む超フィルターU{ \mathscr{U} }が取れる。U{ \mathscr{U} }はフレシェフィルターを含むので、自由である。□{ \square }

定理 フレシェフィルターは自由フィルターの共通部分と一致する。

（証明）自由フィルターの共通部分をE{ \mathscr{E} }とする。自由フィルターはフレシェフィルターを含むからFC⊂E{ \mathcal{FC}\subset\mathscr{E} }が成り立つ。あるE∈E{ E\in\mathscr{E} }が存在してE∉FC{ E\notin\mathcal{FC} }を満たすとする。FC∖E={V:∃F∈FC,F∖E⊂V}{ \mathcal{FC}_{\setminus E}=\lbrace V : \exists F\in\mathcal{FC}, F\setminus E\subset V \rbrace }はFC{ \mathcal{FC} }を含むフィルターとなる。FC∖E{ \mathcal{FC}_{\setminus E} }を含む超フィルターU{ \mathscr{U} }を取れば、FC⊂FC∖E⊂U{ \mathcal{FC}\subset\mathcal{FC}_{\setminus E}\subset\mathscr{U} }よりU{ \mathscr{U} }は自由フィルターとなる。従ってE∈E⊂U{ E\in\mathscr{E}\subset\mathscr{U} }となるが、X∖E∈FC∖E⊂U{ X\setminus E\in\mathcal{FC}_{\setminus E}\subset\mathscr{U} }より矛盾する。□{ \square }

系 フレシェフィルターは極大自由フィルターの共通部分と一致する。

（証明）自由フィルターの共通部分をE{ \mathscr{E} }、極大自由フィルターの共通部分をF{ \mathscr{F} }とする。自由フィルターは、自身を含む超フィルターの共通部分である。これらの超フィルターは極大自由フィルターである。故にE⊃F{ \mathscr{E}\supset\mathscr{F} }である。逆に極大自由フィルターは自由フィルターなのでE⊂F{ \mathscr{E}\subset\mathscr{F} }である。従ってFC=E=F{ \mathcal{FC}=\mathscr{E}=\mathscr{F} }である。□{ \square }

results matching ""

    No results matching ""