自由フィルター
フレシェフィルターFCとは、「補集合が有限集合となる部分集合」全体から成る無限集合のフィルターだった。フィルターが自身を含む超フィルターの共通部分として表せたように、フレシェフィルターも自由フィルターを用いて特徴付けることができる。
以下Xは無限集合とする。またFC⊂2XはXのフレシェフィルターとする。
定義
F⊂2XをXのフィルターとする。
- ∩F=∅であるときFは自由(free)であるという。
- ∩F̸=∅であるときFは固定されている(fixed)という。
命題
G⊂2XをXのフィルターとする。以下は同値である。
- Gは自由である。
- FC⊂Gを満たす。
(証明)上から下を示す。F∈FCについて、X∖F={x1,…,xn}と表せる。∩G=∅より、各jについてあるGj∈Gが存在してxj∈/Gjを満たす。x1,…,xn∈/G1∩⋯∩GnよりG1∩⋯∩Gn⊂Fとなるが、G1∩⋯∩Gn∈GよりF∈Gを得る。
逆は、任意のx∈XについてX∖{x}∈FC⊂Gより∩G=∅を得る。□
系
極大な自由フィルターが存在する。
(証明)フレシェフィルターを含む超フィルターを取ればよい。□
定義
部分集合の族S⊂2X,̸=∅は空でないとする。任意のS1,…,Sn∈SについてS1∩⋯∩Sn̸=∅が成り立つとき(つまり任意のSの有限交叉が空でないとき)、Sは有限交叉性(Finite Intersection Property, FIP)を満たすという。
有限交叉性はフィルター順基とも呼ばれる。実際、有限交叉全体Bはprefilterであり、特に⟨B⟩はSを含む最小のフィルターとなる。この意味でフィルター的な定義としては最も弱い概念が有限交叉性である。
命題
部分集合の族S⊂2X,̸=∅は空でないとする。任意のSの有限交叉は無限集合とする。このときSを含む極大自由フィルターが存在する。
(証明)Sは有限交叉性を満たすから、有限交叉全体B:={S1∩⋯∩Sn:Sj∈S}はprefilterである。F∈FC及びS∈BについてF∩S=∅ならS⊂X∖Sとなり、Sが無限集合であることに矛盾する。故にF∩S̸=∅である。するとFCとBのvel積を考えれば、フィルター⟨FC∨B⟩を含む超フィルターUが取れる。Uはフレシェフィルターを含むので、自由である。□
定理
フレシェフィルターは自由フィルターの共通部分と一致する。
(証明)自由フィルターの共通部分をEとする。自由フィルターはフレシェフィルターを含むからFC⊂Eが成り立つ。あるE∈Eが存在してE∈/FCを満たすとする。FC∖E={V:∃F∈FC,F∖E⊂V}はFCを含むフィルターとなる。FC∖Eを含む超フィルターUを取れば、FC⊂FC∖E⊂UよりUは自由フィルターとなる。従ってE∈E⊂Uとなるが、X∖E∈FC∖E⊂Uより矛盾する。□
系
フレシェフィルターは極大自由フィルターの共通部分と一致する。
(証明)自由フィルターの共通部分をE、極大自由フィルターの共通部分をFとする。自由フィルターは、自身を含む超フィルターの共通部分である。これらの超フィルターは極大自由フィルターである。故にE⊃Fである。逆に極大自由フィルターは自由フィルターなのでE⊂Fである。従ってFC=E=Fである。□