位相的概念とその性質

今回は閉集合について考えてみよう。せっかく収束概念があるので以下のように考える。

定義 X{ X }を収束空間とする。Φ(X){ \Phi( X ) }をX{ X }のフィルター全体とする。A⊂X{ A\subset X }に対し、A{ A }の閉包（closure）を

cl(A):={x∈X:∃F∈Φ(X),F→x,A∈F} \displaystyle \mathrm{cl}( A ):=\lbrace x\in X : \exists\mathscr{F}\in\Phi( X ), \mathscr{F}\rightarrow x, A\in\mathscr{F} \rbrace

で定める。つまりA{ A }を含むフィルターの極限点全体をcl(A){ \mathrm{cl}( A ) }とする。

この定義が自然なものであると確認するには、後で述べるフィルターの制限や収束空間の部分空間についての議論が必要となる。今はA{ A }の収束列の収束先という類推で納得しておく。

上のcl{ \mathrm{cl} }はKatětov閉包と呼ばれるらしい。

命題 閉包は以下を満たす。

  1. cl(∅)=∅{ \mathrm{cl}( \emptyset )=\emptyset }である。
  2. A⊂cl(A){ A\subset\mathrm{cl}( A ) }である。
  3. cl(A∪B)=cl(A)∪cl(B){ \mathrm{cl}( A\cup B )=\mathrm{cl}( A )\cup\mathrm{cl}( B ) }が成り立つ。

3番目から特にA⊂B{ A\subset B }ならcl(A)⊂cl(B){ \mathrm{cl}( A )\subset\mathrm{cl}( B ) }が成り立つ。

（証明）フィルターは空集合を含まないからcl(∅)=∅{ \mathrm{cl}( \emptyset )=\emptyset }である。

x∈A{ x\in A }とすると⟨x⟩→x{ \langle x \rangle\rightarrow x }かつA∈⟨x⟩{ A\in\langle x \rangle }が成り立つ。よってa∈cl(A){ a\in\mathrm{cl}( A ) }が従う。

x∈cl(A∪B){ x\in\mathrm{cl}( A\cup B ) }とする。あるフィルターF→x{ \mathscr{F}\rightarrow x }が存在してA∪B∈F{ A\cup B\in\mathscr{F} }となる。A∉F{ A\notin\mathscr{F} }のときF∖A={V:∃F∈F,F∖A⊂V}{ \mathscr{F}_{\setminus A}=\lbrace V : \exists F\in\mathscr{F}, F\setminus A\subset V \rbrace }はF{ \mathscr{F} }を含むフィルターである。よってF∖A→x{ \mathscr{F}_{\setminus A}\rightarrow x }であり、一方A∪B∖A⊂B{ A\cup B\setminus A\subset B }よりB∈F∖A{ B\in\mathscr{F}_{\setminus A} }である。従ってx∈cl(B)⊂cl(A)∪cl(B){ x\in\mathrm{cl}( B )\subset\mathrm{cl}( A )\cup\mathrm{cl}( B ) }を得る。

逆にx∈cl(A){ x\in\mathrm{cl}( A ) }なら、あるフィルターF→x{ \mathscr{F}\rightarrow x }が存在してA∈F{ A\in\mathscr{F} }を満たす。特にA⊂A∪B{ A\subset A\cup B }よりA∪B∈F{ A\cup B\in\mathscr{F} }であるからx∈cl(A∪B){ x\in\mathrm{cl}( A\cup B ) }となる。B{ B }についても同様である。□{ \square }

さて閉包がcl(cl(A))=cl(A){ \mathrm{cl}( \mathrm{cl}( A ) )=\mathrm{cl}( A ) }を満たせば、これは位相の公理系（Kuratowskiの公理系）を定めることになる。しかし、もちろんこれは一般に成り立たない。この公理系では閉集合をcl(A)=A{ \mathrm{cl}( A )=A }を満たす集合A⊂X{ A\subset X }で定めていた。

定義 X{ X }を収束空間とする。A⊂X{ A\subset X }とする。cl(A)=A{ \mathrm{cl}( A )=A }が成り立つとき、A{ A }は閉（closed）であるという。

補題 X{ X }を収束空間とする。U⊂X{ U\subset X }とする。以下は同値である。

  • U{ U }はopenである。
  • X∖U{ X\setminus U }はclosedである。

（証明）U{ U }はopenとする。cl(X∖U)⊂X∖U{ \mathrm{cl}( X\setminus U )\subset X\setminus U }を示せば良い。x∈cl(X∖U){ x\in \mathrm{cl}( X\setminus U ) }に対し、あるフィルターF→x{ \mathscr{F}\rightarrow x }が存在してX∖U∈F{ X\setminus U\in\mathscr{F} }となる。x∈U{ x\in U }ならU∈Nx⊂F{ U\in\mathscr{N}_{x}\subset\mathscr{F} }より矛盾する。よってX∖U{ X\setminus U }はclosedである。

逆にU{ U }はopenでないとする。ある元x∈U{ x\in U }とフィルターF→x{ \mathscr{F}\rightarrow x }が存在してU∉F{ U\notin\mathscr{F} }が成り立つ。F∖U={V:∃F∈F,F∖U⊂V}{ \mathscr{F}_{\setminus U}=\lbrace V : \exists F\in\mathscr{F}, F\setminus U\subset V \rbrace }はF{ \mathscr{F} }を含むフィルターである。X∖U∈F∖U{ X\setminus U\in\mathscr{F}_{\setminus U} }かつF∖U→x{ \mathscr{F}_{\setminus U}\rightarrow x }よりx∈cl(X∖U){ x\in\mathrm{cl}( X\setminus U ) }を得る。x∉X∖U{ x\notin X\setminus U }よりX∖U{ X\setminus U }はclosedでない。□{ \square }

収束空間がトポロジカルなときopenと開集合であることは同値だった。従って補題よりA{ A }が閉集合であることと、A{ A }がclosedであることは同値となる。よって次が成り立つ。

命題 X{ X }をトポロジカルな収束空間とする。閉包は位相空間の閉包と一致する。

（証明）A⊂X{ A\subset X }に対し、位相空間の閉包をA‾{ \overline{A} }で表す。

A⊂A‾{ A\subset\overline{A} }より、A‾{ \overline{A} }はclosedだからcl(A)⊂cl(A‾)=A‾{ \mathrm{cl}( A )\subset\mathrm{cl}( \overline{A} )=\overline{A} }が成り立つ。

逆を示すためにx∈X∖cl(A){ x\in X\setminus\mathrm{cl}( A ) }とする。x∈A‾{ x\in\overline{A} }とすると、任意のN∈N(x){ N\in\mathfrak{N}( x ) }についてN∩A≠∅{ N\cap A\neq\emptyset }が成り立つ。このときフィルター⟨A⟩{ \langle A \rangle }についてvel積G:=N(x)∨⟨A⟩{ \mathscr{G}:=\mathfrak{N}( x )\vee\langle A \rangle }が定義できる。今x∉cl(A){ x\notin\mathrm{cl}( A ) }より任意のフィルターF→x{ \mathscr{F}\rightarrow x }についてA∉F{ A\notin\mathscr{F} }が成り立つが、G⊃N(x)→x{ \mathscr{G}\supset\mathfrak{N}( x )\rightarrow x }より矛盾する。従ってx∉A‾{ x\notin\overline{A} }である。□{ \square }

以上により、トポロジカルな収束空間において、近傍、開、閉、閉包の概念は全て同一のものであることが分かる。

命題 X{ X }を収束空間とする。x∈X,N⊂X{ x\in X, N\subset X }とする。以下は同値である。

  • N{ N }はx{ x }の近傍である。
  • x∉cl(X∖N){ x\notin\mathrm{cl}( X\setminus N ) }である。

（証明）x∈cl(X∖N){ x\in\mathrm{cl}( X\setminus N ) }とする。あるフィルターF→x{ \mathscr{F}\rightarrow x }が存在してX∖N∈F{ X\setminus N\in\mathscr{F} }を満たす。N∉F{ N\notin\mathscr{F} }よりN∉Nx{ N\notin\mathscr{N}_{x} }である。

逆にN∉Nx{ N\notin\mathscr{N}_{x} }なら、あるフィルターF→x{ \mathscr{F}\rightarrow x }が存在してN∉F{ N\notin\mathscr{F} }となる。ここでF∖N={V:∃F∈F,F∖N⊂V}{ \mathscr{F}_{\setminus N}=\lbrace V : \exists F\in\mathscr{F}, F\setminus N\subset V \rbrace }はF{ \mathscr{F} }を含むフィルターとなる。X∖N∈F∖N{ X\setminus N\in\mathscr{F}_{\setminus N} }かつF∖N→x{ \mathscr{F}_{\setminus N}\rightarrow x }よりx∈cl(X∖N){ x\in\mathrm{cl}( X\setminus N ) }が従う。□{ \square }

定理 f​:X→Y{ f\colon X\rightarrow Y }は収束空間の間の連続写像とする。このとき以下が成り立つ。

  1. U⊂Y{ U\subset Y }がopenならf−1(U){ f^{-1}( U ) }はopenである。
  2. F⊂Y{ F\subset Y }がclosedならf−1(F){ f^{-1}( F ) }はclosedである。
  3. x∈X{ x\in X }について、N⊂Y{ N\subset Y }がf(x){ f( x ) }の近傍ならf−1(N){ f^{-1}( N ) }はx{ x }の近傍である。
  4. A⊂X{ A\subset X }についてf(cl(A))⊂cl(f(A)){ f( \mathrm{cl}( A ) )\subset\mathrm{cl}( f( A ) ) }が成り立つ。

（証明）1は前節で示した。2は1とf−1(Y∖F)=X∖f−1(F){ f^{-1}( Y\setminus F )=X\setminus f^{-1}( F ) }より分かる。

3を示そう。F→x{ \mathscr{F}\rightarrow x }ならf∗F→f(x){ f_{\ast}\mathscr{F}\rightarrow f( x ) }だから、Nf(x)⊂f∗F{ \mathscr{N}_{f( x )}\subset f_{\ast}\mathscr{F} }である。よってN∈Nf(x){ N\in\mathscr{N}_{f( x )} }について、あるF∈F{ F\in\mathscr{F} }が存在してf(F)⊂N{ f( F )\subset N }となる。F⊂f−1(N){ F\subset f^{-1}( N ) }よりf−1(N)∈F{ f^{-1}( N )\in\mathscr{F} }を得る。従ってf−1(N)∈Nx{ f^{-1}( N )\in\mathscr{N}_{x} }が成り立つ。

4を示そう。x∈cl(A){ x\in\mathrm{cl}( A ) }とすると、あるフィルターF→x{ \mathscr{F}\rightarrow x }が存在してA∈F{ A\in\mathscr{F} }を満たす。f∗F→f(x){ f_{\ast}\mathscr{F}\rightarrow f( x ) }よりf(A)∈f(F)⊂f∗F{ f( A )\in f( \mathscr{F} )\subset f_{\ast}\mathscr{F} }からf(x)∈cl(f(A)){ f( x )\in\mathrm{cl}( f( A ) ) }を得る。□{ \square }

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