位相的概念とその性質
今回は閉集合について考えてみよう。せっかく収束概念があるので以下のように考える。
定義
Xを収束空間とする。Φ(X)をXのフィルター全体とする。A⊂Xに対し、Aの閉包(closure)を
cl(A):={x∈X:∃F∈Φ(X),F→x,A∈F}
で定める。つまりAを含むフィルターの極限点全体をcl(A)とする。
この定義が自然なものであると確認するには、後で述べるフィルターの制限や収束空間の部分空間についての議論が必要となる。今はAの収束列の収束先という類推で納得しておく。
上のclはKatětov閉包と呼ばれるらしい。
命題
閉包は以下を満たす。
- cl(∅)=∅である。
- A⊂cl(A)である。
- cl(A∪B)=cl(A)∪cl(B)が成り立つ。
3番目から特にA⊂Bならcl(A)⊂cl(B)が成り立つ。
(証明)フィルターは空集合を含まないからcl(∅)=∅である。
x∈Aとすると⟨x⟩→xかつA∈⟨x⟩が成り立つ。よってa∈cl(A)が従う。
x∈cl(A∪B)とする。あるフィルターF→xが存在してA∪B∈Fとなる。A∈/FのときF∖A={V:∃F∈F,F∖A⊂V}はFを含むフィルターである。よってF∖A→xであり、一方A∪B∖A⊂BよりB∈F∖Aである。従ってx∈cl(B)⊂cl(A)∪cl(B)を得る。
逆にx∈cl(A)なら、あるフィルターF→xが存在してA∈Fを満たす。特にA⊂A∪BよりA∪B∈Fであるからx∈cl(A∪B)となる。Bについても同様である。□
さて閉包がcl(cl(A))=cl(A)を満たせば、これは位相の公理系(Kuratowskiの公理系)を定めることになる。しかし、もちろんこれは一般に成り立たない。この公理系では閉集合をcl(A)=Aを満たす集合A⊂Xで定めていた。
定義
Xを収束空間とする。A⊂Xとする。cl(A)=Aが成り立つとき、Aは閉(closed)であるという。
補題
Xを収束空間とする。U⊂Xとする。以下は同値である。
- Uはopenである。
- X∖Uはclosedである。
(証明)Uはopenとする。cl(X∖U)⊂X∖Uを示せば良い。x∈cl(X∖U)に対し、あるフィルターF→xが存在してX∖U∈Fとなる。x∈UならU∈Nx⊂Fより矛盾する。よってX∖Uはclosedである。
逆にUはopenでないとする。ある元x∈UとフィルターF→xが存在してU∈/Fが成り立つ。F∖U={V:∃F∈F,F∖U⊂V}はFを含むフィルターである。X∖U∈F∖UかつF∖U→xよりx∈cl(X∖U)を得る。x∈/X∖UよりX∖Uはclosedでない。□
収束空間がトポロジカルなときopenと開集合であることは同値だった。従って補題よりAが閉集合であることと、Aがclosedであることは同値となる。よって次が成り立つ。
命題
Xをトポロジカルな収束空間とする。閉包は位相空間の閉包と一致する。
(証明)A⊂Xに対し、位相空間の閉包をAで表す。
A⊂Aより、Aはclosedだからcl(A)⊂cl(A)=Aが成り立つ。
逆を示すためにx∈X∖cl(A)とする。x∈Aとすると、任意のN∈N(x)についてN∩A̸=∅が成り立つ。このときフィルター⟨A⟩についてvel積G:=N(x)∨⟨A⟩が定義できる。今x∈/cl(A)より任意のフィルターF→xについてA∈/Fが成り立つが、G⊃N(x)→xより矛盾する。従ってx∈/Aである。□
以上により、トポロジカルな収束空間において、近傍、開、閉、閉包の概念は全て同一のものであることが分かる。
命題
Xを収束空間とする。x∈X,N⊂Xとする。以下は同値である。
- Nはxの近傍である。
- x∈/cl(X∖N)である。
(証明)x∈cl(X∖N)とする。あるフィルターF→xが存在してX∖N∈Fを満たす。N∈/FよりN∈/Nxである。
逆にN∈/Nxなら、あるフィルターF→xが存在してN∈/Fとなる。ここでF∖N={V:∃F∈F,F∖N⊂V}はFを含むフィルターとなる。X∖N∈F∖NかつF∖N→xよりx∈cl(X∖N)が従う。□
定理
f:X→Yは収束空間の間の連続写像とする。このとき以下が成り立つ。
- U⊂Yがopenならf−1(U)はopenである。
- F⊂Yがclosedならf−1(F)はclosedである。
- x∈Xについて、N⊂Yがf(x)の近傍ならf−1(N)はxの近傍である。
- A⊂Xについてf(cl(A))⊂cl(f(A))が成り立つ。
(証明)1は前節で示した。2は1とf−1(Y∖F)=X∖f−1(F)より分かる。
3を示そう。F→xならf∗F→f(x)だから、Nf(x)⊂f∗Fである。よってN∈Nf(x)について、あるF∈Fが存在してf(F)⊂Nとなる。F⊂f−1(N)よりf−1(N)∈Fを得る。従ってf−1(N)∈Nxが成り立つ。
4を示そう。x∈cl(A)とすると、あるフィルターF→xが存在してA∈Fを満たす。f∗F→f(x)よりf(A)∈f(F)⊂f∗Fからf(x)∈cl(f(A))を得る。□