push-forwardとpull-back

集合間の写像が与えられたとき、定義域のフィルターを値域へ押し出したり、あるいは値域のフィルターを定義域へ引き戻したりする操作を考えたくなる。このような操作はフィルターの生成を用いて定義されるが、自然な条件で自然な対応が付く。

命題 X,Y{ X, Y }を集合とし、A⊂2X{ \mathscr{A}\subset 2^{X} }をX{ X }のprefilterとする。写像f​:X→Y{ f\colon X\rightarrow Y }について

f(A):={f(V)⊂Y:V∈A}⊂2Y \displaystyle f( \mathscr{A} ):=\lbrace f( V )\subset Y : V\in\mathscr{A} \rbrace\subset 2^{Y}

はY{ Y }のprefilterとなる。

（証明）V≠∅{ V\neq\emptyset }よりf(V)≠∅{ f( V )\neq\emptyset }である。V,W∈A{ V, W\in\mathscr{A} }についてf(V),f(W)∈f(A){ f( V ), f( W )\in f( \mathscr{A} ) }を考える。A{ \mathscr{A} }はprefilterであるからA∈A{ A\in\mathscr{A} }をA⊂V∩W{ A\subset V\cap W }となるように取れる。f(A)∈f(A){ f( A )\in f( \mathscr{A} ) }かつf(A)⊂f(V∩W)⊂f(V)∩f(W){ f( A )\subset f( V\cap W )\subset f( V )\cap f( W ) }より、f(A){ f( \mathscr{A} ) }はprefilterである。□{ \square }

定義 特にA=F{ \mathscr{A}=\mathscr{F} }がフィルターであるとき、

f∗F:=⟨f(F)⟩ \displaystyle f_{\ast}\mathscr{F}:=\langle f( \mathscr{F} ) \rangle

をF{ \mathscr{F} }のpush-forwardと呼ぶ。

命題 X,Y{ X, Y }を集合とし、B⊂2Y{ \mathscr{B}\subset 2^{Y} }をY{ Y }のprefilterとする。写像f​:X→Y{ f\colon X\rightarrow Y }について、任意のB∈B{ B\in\mathscr{B} }がf−1(B)≠∅{ f^{-1}( B )\neq\emptyset }を満たすとする。このとき

f−1(B):={f−1(W)⊂X:W∈B}⊂2X \displaystyle f^{-1}( \mathscr{B} ):=\lbrace f^{-1}( W )\subset X : W\in\mathscr{B} \rbrace\subset 2^{X}

はX{ X }のprefilterとなる。

（証明）定義よりf−1(B){ f^{-1}( \mathscr{B} ) }は空集合を含まない。V,W∈B{ V, W\in\mathscr{B} }についてf−1(V),f−1(W)∈f−1(B){ f^{-1}( V ), f^{-1}( W )\in f^{-1}( \mathscr{B} ) }を考える。B{ \mathscr{B} }はprefilterであるからB∈B{ B\in\mathscr{B} }をB⊂V∩W{ B\subset V\cap W }となるように取れる。f−1(B)⊂f−1(V∩W)=f−1(V)∩f−1(W){ f^{-1}( B )\subset f^{-1}( V\cap W )=f^{-1}( V )\cap f^{-1}( W ) }かつf−1(B)∈f−1(B){ f^{-1}( B )\in f^{-1}( \mathscr{B} ) }より、f−1(B){ f^{-1}( \mathscr{B} ) }はprefilterである。□{ \square }

定義 特にB=G{ \mathscr{B}=\mathscr{G} }がフィルターであるとき、

f∗G:=⟨f−1(G)⟩ \displaystyle f^{\ast}\mathscr{G}:=\langle f^{-1}( \mathscr{G} ) \rangle

をG{ \mathscr{G} }のpull-backと呼ぶ。

  • pull-backが定義できるG{ \mathscr{G} }には条件がある。

以下でこれらの性質を示す。まずフィルターの生成という観点から言うと、push-forwardは生成について可換である。

命題 f​:X→Y{ f\colon X\rightarrow Y }を写像とする。A⊂2X{ \mathscr{A}\subset 2^{X} }をX{ X }のprefilterとすると、

f∗⟨A⟩=⟨f(A)⟩ \displaystyle f_{\ast}\langle \mathscr{A} \rangle=\langle f( \mathscr{A} ) \rangle

が成り立つ。

（証明）f∗⟨A⟩⊃f(⟨A⟩)⊃f(A){ f_{\ast}\langle \mathscr{A} \rangle\supset f( \langle \mathscr{A} \rangle )\supset f( \mathscr{A} ) }なので、生成の最小性よりf∗⟨A⟩⊃⟨f(A)⟩{ f_{\ast}\langle \mathscr{A} \rangle\supset\langle f( \mathscr{A} ) \rangle }が従う。よって逆を示せば良い。左辺から元を取りF∈f∗⟨A⟩{ F\in f_{\ast}\langle \mathscr{A} \rangle }とする。あるG∈⟨A⟩{ G\in\langle \mathscr{A} \rangle }が存在してf(G)⊂F{ f( G )\subset F }が成り立つ。更にG{ G }について、あるH∈A{ H\in\mathscr{A} }が存在してH⊂G{ H\subset G }が成り立つ。よってf(H)⊂f(G)⊂F{ f( H )\subset f( G )\subset F }だからF∈⟨f(A)⟩{ F\in\langle f( \mathscr{A} ) \rangle }を得る。□{ \square }

push-forwardの合成はpush-forwardである。

命題 X,Y,Z{ X, Y, Z }を集合とし、f​:X→Y,g​:Y→Z{ f\colon X\rightarrow Y, g\colon Y\rightarrow Z }を写像とすると、

(g∘f)∗=g∗∘f∗ \displaystyle ( g\circ f )_{\ast}=g_{\ast}\circ f_{\ast}

が成り立つ。

（証明）F⊂2X{ \mathscr{F}\subset 2^{X} }をX{ X }のフィルターとする。(g∘f)∗F=g∗(f∗F){ ( g\circ f )_{\ast}\mathscr{F}=g_{\ast}( f_{\ast}\mathscr{F} ) }を示せば良い。左辺から元を取りF∈(g∘f)∗F{ F\in( g\circ f )_{\ast}\mathscr{F} }とする。あるG∈F{ G\in\mathscr{F} }が存在してg∘f(G)⊂F{ g\circ f( G )\subset F }が成り立つ。g∘f(G)=g(f(G)){ g\circ f( G )=g( f( G ) ) }だからf(G)∈f(F)⊂f∗F{ f( G )\in f( \mathscr{F} )\subset f_{\ast}\mathscr{F} }よりF∈g∗(f∗(F)){ F\in g_{\ast}( f_{\ast}( \mathscr{F} ) ) }を得る。逆にF∈g∗(f∗F){ F\in g_{\ast}( f_{\ast}\mathscr{F} ) }とすると、あるG∈f∗F{ G\in f_{\ast}\mathscr{F} }が存在してg(G)⊂F{ g( G )\subset F }が成り立つ。同様にあるH∈F{ H\in\mathscr{F} }が存在してf(H)⊂G{ f( H )\subset G }が成り立つから、(g∘f)(H)⊂g(G)⊂F{ ( g\circ f )( H )\subset g( G )\subset F }を得る。故にF∈(g∘f)∗F{ F\in ( g\circ f )_{\ast}\mathscr{F} }となる。□{ \square }

push-forwardとpull-backの間には以下の関係がある。

命題 f​:X→Y{ f\colon X\rightarrow Y }を写像とする。F⊂2X,G⊂2Y{ \mathscr{F}\subset 2^{X}, \mathscr{G}\subset 2^{Y} }をX,Y{ X, Y }のフィルターとする。以下が成り立つ。

  1. f∗F{ f_{\ast}\mathscr{F} }のpull-backは常に定義できてF⊂f∗(f∗F){ \mathscr{F}\subset f^{\ast}( f_{\ast}\mathscr{F} ) }を満たす。
  2. 任意のG∈G{ G\in\mathscr{G} }がf−1(G)≠∅{ f^{-1}( G )\neq\emptyset }を満たすなら（G{ \mathscr{G} }のpull-backが定義できるなら）G⊂f∗(f∗G){ \mathscr{G}\subset f_{\ast}( f^{\ast}\mathscr{G} ) }が成り立つ。

（証明）上は自明。下はG∈G{ G\in\mathscr{G} }に対し、f(f−1(G))⊂G{ f( f^{-1}( G ) )\subset G }よりG∈f∗(f∗G){ G\in f_{\ast}( f^{\ast}\mathscr{G} ) }を得る。□{ \square }

写像が全射のときpush-forwardはフィルターの像と一致する。

補題 f​:X→Y{ f\colon X\rightarrow Y }は全射とする。F⊂2X{ \mathscr{F}\subset 2^{X} }をX{ X }のフィルターとすると、f∗F=f(F){ f_{\ast}\mathscr{F}=f( \mathscr{F} ) }が成り立つ。特にf(F){ f( \mathscr{F} ) }はフィルターである。

（証明）左辺から元を取りG∈f∗F{ G\in f_{\ast}\mathscr{F} }とする。あるF∈F{ F\in\mathscr{F} }が存在してf(F)⊂G{ f( F )\subset G }が成り立つ。F⊂f−1(f(F))⊂f−1(G){ F\subset f^{-1}( f( F ) )\subset f^{-1}( G ) }よりf−1(G)∈F{ f^{-1}( G )\in\mathscr{F} }だが、f{ f }は全射なのでG=f(f−1(G))∈f(F){ G=f( f^{-1}( G ) )\in f( \mathscr{F} ) }を得る。（一般にはf(f−1(G))⊂G{ f( f^{-1}( G ) )\subset G }なので成立しない。）□{ \square }

写像が全射のときはpull-backも定義できる。更にpull-backがフィルターの逆像と一致するには、写像が全単射であることが十分である。

補題 f​:X→Y{ f\colon X\rightarrow Y }は全単射とする。G⊂2Y{ \mathscr{G}\subset 2^{Y} }をY{ Y }のフィルターとすると、f∗G=f−1(G){ f^{\ast}\mathscr{G}=f^{-1}( \mathscr{G} ) }が成り立つ。特にf−1(G){ f^{-1}( \mathscr{G} ) }はフィルターである。

（証明）左辺から元を取りF∈f∗G{ F\in f^{\ast}\mathscr{G} }とする。f{ f }は単射なのでF=f−1(f(F)){ F=f^{-1}( f( F ) ) }が成り立つから、f(F)∈G{ f( F )\in\mathscr{G} }を示せば良い。（一般にはF⊂f−1(f(F)){ F\subset f^{-1}( f( F ) ) }である。）F∈f∗G{ F\in f^{\ast}\mathscr{G} }より、あるG∈G{ G\in\mathscr{G} }が存在してf−1(G)⊂F{ f^{-1}( G )\subset F }が成り立つ。f(f−1(G))⊂f(F){ f( f^{-1}( G ) )\subset f( F ) }となるが、f{ f }は全射なのでG=f(f−1(G))⊂f(F){ G=f( f^{-1}( G ) )\subset f( F ) }を得る。G∈G{ G\in\mathscr{G} }からf(F)∈G{ f( F )\in\mathscr{G} }が従う。□{ \square }

系 f​:X→Y{ f\colon X\rightarrow Y }は全単射とする。Φ(X),Φ(Y){ \Phi( X ), \Phi( Y ) }はX,Y{ X, Y }のフィルター全体の集合とする。このとき

f∗∘f∗=idΦ(X),f∗∘f∗=idΦ(Y) \displaystyle \begin{alignedat}{2} f^{\ast}\circ f_{\ast}&=\mathrm{id}_{\Phi( X )}, &\qquad f_{\ast}\circ f^{\ast}&=\mathrm{id}_{\Phi( Y )} \end{alignedat}

が成り立つ。

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